Teorema multinomial

En matemàtiques, el teorema multinomial és una expressió d'una potència d'una suma en termes de potències dels sumands. Per qualsevol enter positiu m i qualsevol enter no negatiu n, la fórmula multinomial és

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.}$

El sumatori es realitza en totes les seqüències dels índexs enters no negatius k₁ a k_m tals que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{k_{i}}=n}$. Igual que en el teorema binomial, les quantitats de la forma 0⁰ que apareixen es consideren iguals a 1.

Els nombres

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}=\prod _{i=1}^{m}{\sum _{j=1}^{i}k_{j} \choose k_{i}}}$

són els coeficients multinomials.

Els coeficients multinomials tenen una interpretació directa en combinatòria, com el nombre de formes de posar n objectes diferents en m capses, amb k₁ objectes a la primera capsa, k₂ objectes a la segona capsa, etcètera.

A més, el coeficient multinomial és també el nombre de formes diferents de permutar un conjunt de n elements, sent k_i el nombre de cops que es repeteix cada un dels diferents elements. Per exemple, el nombre de permutacions diferents de les lletres de la paraula ARRANJAR, que té 3 As, 3 Rs, 1 N, i 1 J és

${\displaystyle {8 \choose 3,3,1,1}={\frac {8!}{3!\,3!\,1!\,1!}}=1120}$

El teorema binomial és un cas especial, per m = 2, del teorema multinomial.